### 投注：方差成本

- 如何确认投注的价值？

- 理解方差有实际成本

- 方差的风险是否在腐蚀着你的资金？

最近，我为严肃的博彩玩家定义了一个有用的量，称为“互换等值”。其目的是计算出你的风险仓位预期价值（EV）和相应确定等值（CE）之间的关系。你的仓位EV乘以互换等值就可以得出确定等值（即，你应该对自己口袋里的现金无动于衷的那部分，而不是还没得出结果的投注）。然而，除了这一重要的转换外，你还可以用它来计算方差成本。

方差的真相
对于大多数人来说，方差实在是一个模糊而神秘的概念，不过在精明敏锐的体育博彩玩家眼里，它代表着通往终极财富的漫长旅程中，在利润上那些不可避免的高低起伏。事实上，要达成你的理论投资回报率（ROI），这不仅是必须忍受的糟心事，而且实际上是有成本的。这怎么可能呢？因为如果并非如此，那么你所有进行中的投注的确定等值就会等于它们现在的预期价值。关于这一点，我之前已经撰写了数篇文章来解释为什么两者是不同的。

我们可以将你的实际方差成本（CoV）定义为你的EV和CE之间的差值，尽管它在单个投注中通常只占你总资金的一丁点儿，可在长期上会吃掉很大一部分利润。让我们用方程式来表示交换等值。可以说以下两个方程式都是正确的：

CE = s * EV
CoV = EV - CE

两者结合在一起就可以得出方差真实成本为你的EV乘以（1 - 互换等值）：

CoV = EV - CE = EV - s * EV
CoV = EV * (1-s)

例如，假设博彩公司XYZ为今天的亚利桑那响尾蛇和科罗拉多落矶棒球比赛开了一个盘口：响尾蛇 +130/落矶 -150（转换为欧式赔率则为响尾蛇2.30/落矶1.60）。根据Pinnacle的盘口，预计落矶正好有60%的获胜概率。理论上来说，你可以投注博彩公司XYZ开出的落矶赔率，净EV为0（即，你的投注预期价值正好是你投下的资金）。事实上，你也许会认为重复进行这种零EV投注最终会均衡结果，就和把钱留在口袋中一样。

资金管理：赔率、优势和方差
然而，单靠这些数字，我们无法了解全局。它们只描述了你投注画布上的一个维度：价值维度。还有另外一个截然不同的维度影响着结果：风险。无论你的EV是多少，只要你投注落矶，你的资金就在冒风险，想赢回这些钱，你就可能会遭遇方差的狙击。方差会让你付出怎样的成本？让我们具体分析看看。

假设你的总资金为$1,000，因为你不会损失任何EV，你决定在落矶上投注$50。你有60%的几率获胜（回报$83.33），同时有40%的几率失败（回报为零）。比赛结束后，你的预期总资金值为：

0.6 * $83.33 + 0.4 * $0 + $950 = $50 + $950 = $1000

然而在你投注后，注单的互换等值是多少？我们可以按如下方式计算：

s = ((1 + w) ^ p - 1) / pw
s = ((1 + 0.088) ^ 0.6 - 1) / (0.6 * 0.088)
s = (1.052 - 1) / 0.053
s = 0.985或98.5%

其中：

w = 你的投注派彩占总资金的百分比

p = 你赢得投注的概率（在这个例子中是60%）

你的w为$83.33/$950 = 0.088，因为在投注后，你剩余的总资金为$950。因此，尽管你的注单EV为$50，你的CE仅为（$50 * 98.5%）或$49.25。现在，我们可以算出你产生的方差成本：

CoV = EV * (1 - s)
CoV = $50 * (1 - 0.985)
CoV = $50 * 0.015
CoV = $0.75

你的总资金滑坡

这可能看起来是九牛一毛的小钱，可如果你重复投下该投注，那么你可能每次都会损失一点理论增长值，最终很可能会破产。事实上，在投下该投注10,000次的模拟中，输掉全部资金（下方是五个典型模拟过程函数图）的几率为81.6%。

为了更直观地思考这一点，不妨看一看赢和输两种情况下的总资金状况。如果你赢得投注，那么你的总资金为$1,033，那么下次你投注$50只占总资金的4.8%。另一方面，输掉投注后的总资金为$950，下次投注$50会占总资金的5.3%。因此，每次你赢得投注，下次投注所占总资金比例就会变小，而输掉投注则正好相反——当你不断输掉投注时，这小小的差值最终会滚雪球一般吃掉你剩余资金的一大部分。这不仅不是发家致富的公式，甚至都不能帮助你做到收支平衡。

你绝不会将总资金的100%用于投注，所以你绝对不会破产，不是吗？可以肯定，这是个不错的理论。不过这站得住脚吗？

也许你相信可以通过比例投注方法来解决这个问题——每次不投注$50，而是当前总资金的5%，你赢得投注就投下更多资金，输掉投注则投下更少资金，一切最终都会拉平。再加上你绝不会将总资金的100%用于投注，所以你绝对不会破产，不是吗？可以肯定，这是个不错的理论。不过这站得住脚吗？让我们先聊一聊“破产”这个概念。没错，使用比例投注方法确实绝对不会输掉全部资金，不过当你口袋中只剩下$10时，你的感觉如何？你很可能会觉得自己已经破产了。我们再运行一个模拟：背景情况不变，你投注总资金的5%，不过如果你只剩下不到$10，就算作破产。这个模拟的结果如何？

还要更糟。因为你在总资金增长的情况下投注金额太高，你之后的资金滑坡也更迅猛，哪怕你开局超级走运（这可能是唯一在10,000个投注后不破产的情况）也不例外。使用这种方法，你的结果通常类似于下表中显示的情况（为了清晰起见，Y轴显示为对数尺度），而你破产的几率为88%：

这其实没什么好惊讶的。考虑到投注比例如此大，没有优势时投注的预期增长（EG）为-0.083%。这个数值看起来没什么大不了的，然而，预计在投下5,600个投注后，你$1,000的总资金通常就会跌破$10。如果用相同的赔率计算预期ROI（不过有3.3%的优势），你就会发现投注落矶的完整凯利分数为5%，你的EG为+0.083%。这和我之前例子中的负数EG正好对称，也就是说，你在零EV上投注有多悲伤，在有3.3%优势时投注就有多高兴。

你是哪种类型的博彩玩家？
我必须澄清一点，投注零EV盘口绝不是最大的错误，而且也没有随机在抽水大于等于4%的盘口中投注那么糟糕。然而，如果你的总资金不是无限供应的，那么你就不该把钱花在拉平结果来匹配你的理论EV上。你的重点应该是尽可能投注那些理论上有回报的盘口。

如果，你不是一名普通的博彩玩家，而是杰夫·贝佐斯这样有1,000亿美元总资金的大人物，那么你的注单互换等值基本上就是100%，你的博彩行为也不会有经济成本。你的互换等值和方差成本方程式大致如下：

s = ((1 + w) ^ p - 1) / pw
s = ((1 + 0.00000000083) ^ 0.6 - 1) / (0.6 * 0.00000000083)
s ≅ (1.0000000005 - 1) / 0.0000000005
s = 1或100%
CoV = EV * (1 - s)
CoV = 50 * (1 - 1)
CoV = $0

结论

理解了方差有实际成本后，就更容易明白为什么不应该把全部注意力放在寻找+EV投注上，而忽视-EV或零EV投注。方差的风险是你的潜在成本，就好像进行股票交易时的手续费或佣金，因此减少风险实际上会帮助你获利。有时候，这意味着一开始就不要投注那么大，但是即使你投下了正确的金额（最优金额或更低），在很多情况下，你投注的EV也会改变，并且会大幅度超过确定等值。

在这些情况下，对冲风险（在像Pinnacle这样的低抽水博彩公司那里投注盘口中的另一方，或者在博彩交易所卖出部分或所有仓位）就好像保单一样。而且，如果这份保单的成本低于你的方差成本，那么购买它就是更有利可图的博彩方式。